Поиск в глубину

Порядок обхода дерева в глубину

Поиск в глубину (англ. Depth-first search, DFS) — один из методов обхода графа. Стратегия поиска в глубину, как и следует из названия, состоит в том, чтобы идти «вглубь» графа, насколько это возможно. Алгоритм поиска описывается рекурсивно: перебираем все исходящие из рассматриваемой вершины рёбра. Если ребро ведёт в вершину, которая не была рассмотрена ранее, то запускаем алгоритм от этой нерассмотренной вершины, а после возвращаемся и продолжаем перебирать рёбра. Возврат происходит в том случае, если в рассматриваемой вершине не осталось рёбер, которые ведут в нерассмотренную вершину. Если после завершения алгоритма не все вершины были рассмотрены, то необходимо запустить алгоритм от одной из нерассмотренных вершин.

Алгоритм поиска в глубину

Пусть задан граф [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math], где [math]\displaystyle{ V }[/math] — множество вершин графа, [math]\displaystyle{ E }[/math] — множество ребер графа. Предположим, что в начальный момент времени все вершины графа окрашены в белый цвет. Выполним следующие действия:

1. Пройдём по всем вершинам [math]\displaystyle{ v \in V }[/math].
   • Если вершина [math]\displaystyle{ v }[/math] белая, выполним для неё DFS(v).

Процедура DFS (параметр — вершина [math]\displaystyle{ u \in V }[/math])

1. Перекрашиваем вершину [math]\displaystyle{ u }[/math] в серый цвет.
2. Для всякой вершины [math]\displaystyle{ w }[/math], смежной с вершиной [math]\displaystyle{ u }[/math] и окрашенной в белый цвет, рекурсивно выполняем процедуру DFS(w).
3. Перекрашиваем вершину [math]\displaystyle{ u }[/math] в чёрный цвет.

Часто используют двухцветные метки — без серого, на 1-м шаге красят сразу в чёрный цвет.

Нерекурсивные варианты

На больших графах поиск в глубину серьёзно нагружает стек вызовов. Если есть риск переполнения стека, используют нерекурсивные варианты поиска.

Первый вариант, простейший, но дающий немалый объём стека — до |E|.

1. Кладём на стек первую вершину.
2. Пока стек не пуст, берём верхнюю вершину, не извлекая.
   1. Если вершина белая…
      1. Красим в серый цвет.
      2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода (если таковой важен).
   2. Если вершина серая, красим в чёрный и извлекаем.
   3. Если вершина чёрная, просто извлекаем.

Если хватает двухцветных меток…

1. Кладём на стек первую вершину.
2. Пока стек не пуст, извлекаем верхнюю вершину. Если она белая…
   1. Красим в чёрный цвет.
   2. Кладём в стек всех её белых соседок в порядке, обратном порядку обхода.

Второй вариант: можно симулировать стек вызова программно: для каждой из серых вершин в стеке будет храниться её номер [math]\displaystyle{ u }[/math] и номер текущей смежной вершины [math]\displaystyle{ w }[/math].

Процедура DFS (параметр — вершина [math]\displaystyle{ u \in V }[/math])

1. Кладём на стек пару [math]\displaystyle{ (u, \varnothing) }[/math]. Перекрашиваем вершину [math]\displaystyle{ u }[/math] в серый цвет.
2. Пока стек не пуст…
   1. Берём верхнюю пару [math]\displaystyle{ (v, w) }[/math], не извлекая её из стека.
   2. Находим вершину [math]\displaystyle{ w' }[/math], смежную с [math]\displaystyle{ v }[/math] и следующую за [math]\displaystyle{ w }[/math].
      1. Если таковой нет, извлекаем [math]\displaystyle{ (v, w) }[/math] из стека, перекрашиваем вершину [math]\displaystyle{ v }[/math] в чёрный цвет.
      2. В противном случае присваиваем [math]\displaystyle{ w := w' }[/math], прямо в стеке.
         • Если к тому же вершина [math]\displaystyle{ w' }[/math] белая, кладём на стек пару [math]\displaystyle{ (w', \varnothing) }[/math], перекрашиваем [math]\displaystyle{ w' }[/math] в серый цвет.

Третий вариант: можно в каждой из «серых» вершин держать текущее [math]\displaystyle{ w }[/math] и указатель на предыдущую (ту, из которой пришли).

Поиск в глубину с метками времени. Классификация рёбер

Поиск в глубину с метками времени. Порядок выбора рёбер — слева направо.

Для каждой из вершин установим два числа — «время» входа [math]\displaystyle{ entry[u] }[/math] и «время» выхода [math]\displaystyle{ leave[u] }[/math].

Модифицируем процедуру DFS так.

1. Увеличиваем «текущее время» на 1. [math]\displaystyle{ entry[u] = t }[/math].
2. Перекрашиваем вершину [math]\displaystyle{ u }[/math] в серый цвет.
3. Для всякой вершины [math]\displaystyle{ v }[/math], смежной с вершиной [math]\displaystyle{ u }[/math] и окрашенной в белый цвет, выполняем процедуру DFS(v).
4. Перекрашиваем вершину [math]\displaystyle{ u }[/math] в чёрный цвет.
5. Увеличиваем «текущее время» на 1. [math]\displaystyle{ leave[u] = t }[/math].

Считаем, что граф ориентированный. Очевидно, для любой вершины, из которой мы не вышли в момент t, [math]\displaystyle{ entry[u] \leqslant t \lt leave[u] }[/math]. Также невозможно скрёстное неравенство: [math]\displaystyle{ entry[u] \lt entry[v] \lt leave[u] \lt leave[v] }[/math]. Просматриваемые на шаге 3 дуги u→v могут быть:

• [math]\displaystyle{ entry[u] \lt t + 1 = entry[v] \lt leave[v] \lt leave[u] }[/math]. В момент выполнения шага 3 (обозначенный как t) вершина v белая. В таком случае мы для вершины v исполняем DFS, а дуга называется дугой дерева поиска.
• [math]\displaystyle{ entry[u] \lt entry[v] \lt leave[v] \leqslant t \lt leave[u] }[/math]. В момент t вершина v чёрная, сравнение entry говорит, что в v попали из u. Такая дуга называется прямой.
• [math]\displaystyle{ entry[v] \lt leave[v] \lt entry[u] \leqslant t \lt leave[u] }[/math]. В момент t вершина v также чёрная, но сравнение entry говорит, что в v попали в обход u. Такая дуга называется перекрёстной.
• [math]\displaystyle{ entry[v] \lt entry[u] \leqslant t \lt leave[u] \lt leave[v] }[/math]. В момент t вершина v серая, то есть в u попали из v. Имеем дело с обратной дугой.

Рёбра неориентированного графа могут быть рёбрами дерева и обратными, но не прямыми и перекрёстными. Чтобы различать рёбра неориентированного графа, достаточно указанных выше трёх- или двухцветных отметок. Ребро, идущее в белую вершину,— ребро дерева. В серую (чёрную в двухцветном варианте) — обратное. В чёрную — такого не бывает.

Алгоритм Косарайю требует сортировки вершин в обратном порядке по времени выхода. Метка входа и типы рёбер нужны в алгоритмах поиска точек сочленения и мостов. Метки выхода в обратном порядке — топологический порядок вершин.

Применение

Поиск в глубину ограниченно применяется как собственно поиск, чаще всего на древовидных структурах: когда расстояние между точками малó, поиск в глубину может «плутать» где-то далеко.

Зато поиск в глубину — хороший инструмент для исследования топологических свойств графов. Например:

• В качестве подпрограммы в алгоритмах поиска одно- и двусвязных компонент.
• В топологической сортировке.
• Для поиска точек сочленения, мостов.
• Для преобразования синтаксического дерева в строку (любую: префиксную, инфиксную, обратную польскую).
• В различных расчётах на графах. Например, как часть алгоритма Диница поиска максимального потока.

Поиск в глубину — естественный выбор, когда агент (человек или робот) лично ходит по лабиринту и видит то, что непосредственно рядом с ним. «Правило левой руки» (идти, ведя левой рукой по стенке) будет поиском в глубину, если лабиринт древовидный (нет кружных путей).

См. также

• Поиск в ширину

Литература

• Шаблон:Source
• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Глава 22. Элементарные алгоритмы для работы с графами // Алгоритмы: построение и анализ(второе издание). — М.: «Вильямс», 2005. — С. 622—632.

Ссылки

• ВКИ НГУ: Методы программирования. Обходы графа.
• СпбГУ ИТМО, Факультет информационных технологий и программирования: Дискретная математика. Алгоритмы. Обход графа в глубину.
• Реализация поиска в глубину и различные задачи, решаемые с его помощью (сайт e-maxx.ru)
• Поиск в глубину
• Обход в глубину, цвета вершин — Викиконспекты ИТМО